Principio Resolución de Ecuaciones

Planteamiento de Ecuaciones

El planteamiento de ecuaciones, consiste en crear una secuencia de cálculos los cuales nos permitan encontrar el valor de alguna variable.

Recuerden que deben de usar la transposición de signos: “si suma pasa a restar, si multiplica pasa a dividir…. etc”

Por Ejemplo:

Mi primo tiene 5 años más que su hermano, si en total los 2 suman 25 años; qué edad tiene cada uno.

R. Primer Primo = 15 años, Hermano del primo = 10 años.

Se resuelve así:

Si mi primo tiene 5 años más que su hermano, la edad principal es la de su hermano, porque no le agrega más años.

         x = Edad del hermano del primo

         x + 5 = Mi primo

La suma de las edades de los 2 es 25, es igual a:

         x+x+5 = 25

Reducimos términos semejantes y despejamos:

         2x = 25 – 5

         x = 10

Se sustituye el resultado en el planteamiento y resulta verídica la igualdad.

         x = 10

         x + 5 = 15

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Ejercicio

1.   Pedro tiene el doble de la edad de Juan y Rodrigo tiene el triple de la edad de Pedro, si la edad de los tres suma 108, entonces Qué edad tiene cada uno?

R. Juan = 9, Pedro = 18, Rodrigo = 54

2.   En una empresa se quiere repartir 90 cajas de medicamento entre 3 clínicas, de tal forma que la primera reciba 10 cajas más que la segunda y 20 más que la tercera.

R. Primera = 30, Segunda = 20, Tercera = 40.

3.   La tercera parte de un número más 8 es igual a 30 menos 6; cuál es el número?

               R. 48

4.   Tengo 3 gatos, el primero se comió el doble de la porción del segundo, y el tercero  la mitad del segundo, si repartí 7lb; cuánto se comió cada uno.

         R. Primero = 4lb, Segundo = 2lb, Tercero = 1lb

Comenten, y Posteen.

Productos Notables

PRODUCTOS NOTABLES

CUADRADO DE UNA CANTIDAD:

(a+b)² =  (a)²+2(a)(b)+(b)²=  a²+2ab+b²

Explicación:

Se opera el cuadrado de la primera cantidad, más dos veces la primera por la segunda cantidad, más el cuadrado de la segunda cantidad.

CUBO DE UNA CANTIDAD:

(a+b)³= (a)³+3(a)²(b)+3(a)(b)²+(b)³= a³+3a²b+3ab²+b³

Explicación:

Se opera el cubo de la primera cantidad, mas tres veces el cuadrado de la primera cantidad por la segunda, mas tres veces la primera cantidad por el cuadrado de la segunda, mas el cubo de la segunda cantidad.

FACTORIZACIÓN

FACTORIZACIÓN DE UN BINOMIO:

ab+a²= a(b+a)

Explicación:

Se opera a la cantidad dada, el Máximo Común Divisor (M.C.D), que es igual a = a, "a" la colocamos como coeficiente de un paréntesis, dentro del paréntesis debemos incluir la división de cada una de las expresiones con el resultado del M.C.D.
Otro método es, buscar el o los valores repetidos en la expresión, en este caso es "a" y éste valor lo dividimos por cada una de las expresiones dadas. 

FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO:

X²+10X+25 = X y 5 = 2(X)(5) = 10X = (x+5)²

Explicación:

Se extrae la raíz cuadrada al primer y último término, luego se multiplican las raíces obtenidas por 2, y esta operación tiene que dar como resultado la segunda expresión del trinomio. Si esto da así, introducir las raíces en un paréntesis separadas por la multiplicación del signo del primer término por el signo del tercero; todo elevado al cuadrado.

FACTORIZACIÓN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS

ay+ax+by+bx = (ay+ax)+(by+bx) = a(y+x)+b(y+x) = (y+x)(a+b)

Explicación:

Buscamos agruparlos de tal forma que puedan haber factores comunes (Letras Iguales), después de encontrarlos, dividimos cada paréntesis dentro de los factores igualitarios encontrados. Luego abrimos un paréntesis en el cual llevará dentro la división del factor común por cada una de las expresiones dadas.Vemos que los ahora 2 Términos tienen factores igualitarios, Nuevamente copiamos los factores igualitarios y los dividimos dentro de cada Término de la ecuación y los introducimos dentro de un nuevo paréntesis.

DIFERENCIA DE CUADRADOS

x²-y²= (x-y)(x+y)

Explicación:

Se extrae la raíz cuadrada de cada una de las expresiones, colocándolas en un paréntesis, separadas por el signo + y en otro paréntesis las mismas raíces solo que separadas por el signo -.

Trinomio De La Forma x²+bx+c

X²+7x+10 = (x+5)(x+2)

Explicación:

Primero debemos examinar que la cantidad no se pueda factorizar como un trinomio cuadrado perfecto.Entonces, se extrae la raíz cuadrada a la primer cantidad y se introduce en un paréntesis, luego el signo del segundo término (Del Trinomio y dejar pendiente), abrir otro paréntesis donde colocaremos la misma raíz obtenida de la anterior operación con el signo obtenido, al multiplicar el signo del segundo término por el signo del tercer término (Del respectivo Trinomio).
Como se pueden dar cuenta faltan 2 números, números que al ser sumados o restados (según los signos de los paréntesis), den como resultado el número del segundo término del trinomio y al ser multiplicados den como resultado el número del tercer término del respectivo trinomio.

Para saber cuándo hay que operar esto, el trinomio debe contar con las siguientes características:

1.    Que el número del primer término sea 1 y que el exponente de su literal o letra sea 2.

2.    El segundo término, que su literal sea la raíz cuadrada de la literal del primer término.

3.     La última expresión es independiente, no debe cumplir con ninguna condición.

Trinomio de la Forma ax²+bx+c

4a²+15a+9=

1.   (4a)²+4(15a)+4(9)=

2.   16a²+15(4a)+36

3.   (4a+12)(4a+3)=

         4  x  1

4.   (a+3)(4a+3).

Explicación:

1.  Multiplicamos el trinomio por el coeficiente del primer término, en el segundo término solo se intercambian los coeficientes (Adentro -> <- Afuera).

2.  Factorizamos de la forma x²+bx+c y ésta vez también extraeremos la raíz cuadrada del coeficiente del primer término.

3.  Dividimos cada uno de los paréntesis dentro del número por el cual multiplicamos todo el trinomio escrito en factores.


OTROS CASOS DE FACTORIZACIÓN

Por Agrupación con caso de trinomio cuadrado perfecto y diferencia de cuadrados:

1.     a²+2ab+b²-x²=  (a²+2ab+b²)-x²= (a+b)²-x²= (a+b+x)(a+b-x)

2.     a²+x²+2ax-4= a²+2ax+x²-4= (a+x)²-4= (a+x+2)(a+x-2)

Resolución de ecuaciones de primer grado

Para la solución de estas operaciones algebraicas, necesitamos saber primero que es una ecuación.

Ecuación:

Es la igualdad entre 2 expresiones, ejemplo:

X+1=4

La parte coloreada de rojo, antes del paréntesis es la parte izquierda. La parte azul es la parte derecha; es decir cada ecuación tiene 2 partes que se llaman “izquierda y derecha”

Para resolver una ecuación, se operará así:

Ejemplo No. 1

1.    X+1=4

2.    X=4-1

3.    X=3

Explicación:

1.     Se tiene la ecuación

2.     Reunimos términos semejantes de cada lado correspondiente, claro cambiándolos de signo, y dejamos a X en el lado izquierdo poque no es termino semejante del lado derecho.

3.     Reducimos términos semejantes de cada lado; entonces el valor de X es 3.

Para comprobar si esa es la respuesta, sustituimos a X por le valor obtenido, nos quedará así:

X+1=4    =    3+1=4

Entonces vemos que nuestra respuesta es correcta.

Ejemplo No. 2

1.    (X+1)²+2X= X²+3X+10

2.    X²+2X+1+2X=X²+3X+10

3.    X²+2X+2X-X²-3X=10-1

4.    2X+2X-3X=10-1

5.    4X-3X=10-1

6.    X=10-1

7.    X= 9

Explicación:

1.     Se tiene la ecuación

2.     Operamos primero los productos notables

3.     Agrupamos por términos semejantes cambiando de signos, los que son cambiados de lugar, por supuesto

4.     Reducimos los términos semejantes

5.     Reducimos la parte izquierda primero y nos queda X

6.     Luego reducimos la parte derecha…

7.     Entonces el valor de X es 9.

Ejemplo No. 3

1.    3(X+1)+2=8X-10

2.    3X+3+2=8X-10

3.    3X-8X=-10-3-2

4.    -5X=-15

5.    X=-15/-5

6.    X= 3

Explicación:

1.     Se tiene la ecuación

2.     Multiplicamos el coeficiente del paréntesis, por el paréntesis, y copiamos lo que termina de la ecuación.

3.     Agrupamos por términos semejantes, (recuerden los signos)

4.     Luego reducimos por ambas partes los términos, y nos queda -5X

5.     Entonces 5 está multiplicando a X ¿no?; por consiguiente, tiene que pasar a la parte derecha, (esto sucede con toda ecuación, lo de sus coeficientes) a dividir; lo dividimos…

6.     …Y nos quedará el valor de X, que es el resultado.
7. Para comprobarlo, sustituyen el resultado por la equis, y operan.